Diskrete Mathematik by Martin Aigner

By Martin Aigner

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Aℓn+1 (ℓ1 < ℓ2 < . . < ℓn+1 ) alle die maximale L¨ange s mit Anfangsglied aℓi haben. Betrachten wir zwei aufeinanderfolgende Glieder aℓi , aℓi+1 dieser Teilfolge. W¨ are aℓi < aℓi+1 , so g¨ abe es eine ansteigende Unterfolge aℓi+1 < . . der L¨ ange s und damit eine der L¨ ange s + 1 mit Anfangsglied aℓi , im Widerspruch zu f (aℓi ) = s. Die aℓi erf¨ ullen also aℓ1 > aℓ2 > . . > aℓn+1 , und wir haben unsere gew¨ unschte absteigende Folge erhalten. Der Leser kann sich m¨ uhelos u ¨ berlegen, dass die Aussage f¨ ur n2 Zahlen nicht mehr richtig ist, n2 +1 also wieder bestm¨oglich ist.

2 52 Es seien (p1 , . . , p6 ) und (q1 , . . , q6 ) die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von zwei W¨ urfeln. Zeige, dass die pi , qj niemals so gew¨ ahlt werden k¨ onnen, dass die Summe 1 ) sind. 2, 3, . . , 12 der W¨ urfe alle gleichwahrscheinlich (= 11 ⊲ 53 Es sei x eine reelle Zahl, dann gibt es unter den Zahlen x, 2x, 3x, . . , (n − 1)x mindestens eine, die von einer ganzen Zahl um h¨ ochstens n1 abweicht. 54 Beweise den allgemeinen Satz von Ramsey: Es seien k und ℓ1 , . . , ℓr gegeben.

Mit an = 1, bn = n, cn = (−1)n 1 und daraus mit (2) erhalten wir laut (3) den Summationsfaktor sn = n! ( k=1 (−1)k + 1) = n! k! oder Dn = n! n k=0 n k=0 (−1)k , k! (−1)k . k! n (−1)k k=0 k! Aus der Analysis wissen wir, dass mit n → ∞ gegen e−1 konvergiert. 71 > 31 . Am¨ usante Interpretation: Werden durch einen Windstoß die geordneten Manuskriptbl¨atter eines Buches beliebig aufgewirbelt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass nachher keines mehr am richtigen Platz liegt, gr¨ oßer als 31 , eine wahrhaft betr¨ ubliche Erkenntnis.

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