Diophantine Analysis by Robert D. Carmichael

By Robert D. Carmichael

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2 (ohne Beweis) Auf einer Menge von Kardinalzahlen ist die oben definierte Relation ≤ eine lineare Ordnung. Mit anderen Worten: F¨ ur je zwei beliebig gew¨ahlte Mengen A und B gilt entweder |A| = |B|, |A| < |B| oder |B| < |A|. A. A ∩ B = ∅ und AB die Menge aller Abbildungen von B in A bezeichnet. 5 M¨ achtigkeiten, Kardinalzahlen 31 (a + b) + c = a + (b + c), a + b = b + a, a · (b + c) = a · b + a · c, (a · b) · c = a · (b · c), a · b = b · a, ab+c = ab · ac , (a · b)c = ac · bc , c (ab ) = ab·c , a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c, a ≤ b =⇒ (a · c ≤ b · c ∧ ac ≤ bc ∧ ca ≤ cb ).

2) Ist umgekehrt eine Aquivalenzrelation R auf A gegeben, so ist die Abbildung g : A −→ A/R , x → [x]R eine Abbildung von A auf die Faktormenge von A nach R mit der Eigenschaft, daß Rg mit R ¨ ubereinstimmt. 26 1 Mathematische Grundbegriffe Es besteht sogar eine bijektive Abbildung von f (A) := {f (a) | a ∈ A} auf A/Rf : f (a) → [a]Rf . Schematisch: ✲ f (A) ✯ ✟✟ ✟✟bijektiv ✟ ❄✟ ✙ A A/R f Beweis. ¨ UA. Wir kommen nun zu den sogenannten Verkn¨ upfungen. Definition Sei A eine nichtleere Menge. Eine Abbildung von A × A in A heißt eine innere Verkn¨ upfung (bzw.

Bezeichnet. Anstelle von A sei eine beliebige Aussage“ sagt man A sei eine ” ” Aussagenvariable“. Eine Aussagenvariable nimmt also die Werte 0 und 1 an. a. durch Bindew¨orter wie und“, oder“, wenn–dann“,. . ) auf vielfache Weise verkn¨ upft. Das Ergeb” ” ” nis dieser Verkn¨ upfung liefert in der Regel wieder eine Aussage, deren Wert (0 oder 1) abh¨ angig ist von den der verkn¨ upften Einzelaussagen. Im Rahmen der Aussagenlogik werden ein Teil der umgangssprachlichen Verkn¨ upfungen modelliert, in Teilen sogar erst pr¨ azise formuliert.

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